Dicas Úteis

Mecânica Técnica

Setor raio R com um ângulo central tem um eixo de simetria Boiem que o centro de gravidade está localizado (Figura 1.10, c).

Nós dividimos o setor em setores elementares, que podem ser considerados triângulos. Os centros de gravidade dos setores elementares estão localizados em um arco de um círculo de raio (2/3) R.

O centro de gravidade do setor coincide com o centro de gravidade do arco Ab:

Método de simetria

Imagine um corpo homogêneo que tenha um plano de simetria. Escolhemos um sistema de coordenadas tal que os eixos x e z estão no plano de simetria (veja a Figura 1).

Neste caso, cada partícula elementar por gravidade Geu com abscissa yeu = + a corresponde à mesma partícula elementar com abscissa yeu = -a, então:

Daí a conclusão: se um corpo homogêneo tem um plano de simetria, então o centro de gravidade do corpo está nesse plano.

As seguintes proposições podem ser provadas de forma semelhante:

  • Se um corpo homogêneo tem um eixo de simetria, então o centro de gravidade do corpo está nesse eixo,
  • Se um corpo homogêneo tem dois eixos de simetria, então o centro de gravidade do corpo está no ponto de intersecção,
  • O centro de gravidade de um corpo homogêneo de revolução está no eixo de rotação.

Método de divisão

Este método consiste em quebrar o corpo no menor número de partes cuja gravidade e posição dos centros de gravidade são conhecidas, após o que as fórmulas acima são usadas para determinar o centro de gravidade geral do corpo.

Suponha que dividamos o corpo com a força da gravidade G em três partes G ', G' ', G' '', as abscissas dos centros de gravidade dessas partes x 'Cx ''Cx '' 'C conhecido.
A fórmula para determinar as abscissas do centro de gravidade de todo o corpo:

Nós reescrevemo-lo da seguinte forma:

Escrevemos a última igualdade para cada uma das três partes do corpo separadamente:

Adicionando os lados esquerdo e direito destas três igualdades, obtemos:

Mas o lado direito da última igualdade é o produto da GxC desde

Portanto, xC = (G'x 'C + G``x ''C + G '' 'x' ''C) / G, conforme necessário.
Da mesma forma, as coordenadas do centro de gravidade nos eixos coordenados y e z são determinadas:

As fórmulas obtidas são semelhantes às fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade derivado acima. Portanto, não é possível substituir a gravidade das partículas elementares G nas fórmulas originaiseu , e a gravidade das partes finais, sob as coordenadas xeu yeu zeu entender as coordenadas dos centros de gravidade das partes em que o corpo é dividido.

Método de massa negativa

Este método consiste no fato de que um corpo com cavidades livres é considerado contínuo, e a massa de cavidades livres é considerada negativa. A forma das fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade do corpo não muda.

Assim, ao determinar o centro de gravidade de um corpo com cavidades livres, o método de partição deve ser usado, mas a massa de cavidades deve ser considerada negativa.

Métodos práticos para determinar o centro de gravidade dos corpos

Na prática, para determinar o centro de gravidade de corpos planos de forma complexa, o método de suspensão é freqüentemente usado, que consiste no fato de que um corpo plano é suspenso em um fio em algum ponto. Uma linha é desenhada ao longo da linha e o corpo é suspenso em outro ponto não localizado na linha resultante.
Então, novamente, desenhe uma linha ao longo do fio.
O ponto de intersecção das duas linhas será o centro de gravidade de um corpo plano.

Outro método de determinação do centro de gravidade, que é usado na prática, é chamado de método de pesagem. Este método é freqüentemente usado para determinar o centro de gravidade de grandes máquinas e produtos - automóveis, aviões, tratores de rodas, etc., que têm uma forma tridimensional complexa e suporte de ponto no solo.
O método consiste em aplicar as condições de equilíbrio, com base no fato de que a soma dos momentos de todas as forças que atuam sobre um corpo imóvel é zero.
Na prática, isso é feito pesando um dos suportes da máquina (as rodas traseiras ou dianteiras são montadas na balança), enquanto as leituras das escalas são, de fato, uma reação de suporte, que é levada em consideração na equação de equilíbrio em relação ao segundo ponto de apoio (fora da balança).
A partir da massa conhecida (respectivamente, o peso) do corpo, a indicação dos pesos em um dos pontos de apoio e a distância entre os pontos de apoio, você pode determinar a distância de um dos pontos de apoio ao plano no qual o centro de gravidade está localizado.
Para encontrar deste modo a linha (eixo) na qual o centro de gravidade da máquina está localizado, é necessário realizar duas pesagens de acordo com o princípio descrito acima para o método de suspensão (ver Fig. 1a).

O centro de gravidade de algumas figuras

O retângulo. Como o retângulo tem dois eixos de simetria, o centro de gravidade de sua área está na intersecção desses eixos, ou seja, na interseção das diagonais do retângulo.

Triângulo Deixe um triângulo ABD ser dado (ver Figura 2).
Nós dividimos em tiras elementares (infinitamente estreitas) paralelas ao lado AD. O centro de gravidade de cada tira ficará na mediana Bd (isto é, no meio de cada faixa), portanto, o centro de gravidade de toda a área do triângulo também estará nesta mediana. Tendo quebrado o triângulo em faixas elementares paralelas ao lado AB, vemos que o centro de gravidade procurado também se encontra na mediana aD.
Tendo feito uma ação similar com um triângulo em relação ao lado BD, obtemos o mesmo resultado - o centro de gravidade está na mediana correspondente.
Consequentemente, o centro de gravidade de toda a área do triângulo situa-se no ponto de interseção de suas medianas, uma vez que esse ponto é o único ponto comum para todas as três medianas dessa figura geométrica.

A partir da geometria, sabe-se que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto e são divididas na relação 1:2 do fundo. Portanto, o centro de gravidade do triângulo está localizado a uma distância de um terço da altura de cada base.

Arco de um círculo. Pegue um arco de um círculo AB de raio R com um ângulo central de 2α (veja a Figura 3). Escolhemos o sistema de coordenadas de modo que a origem esteja no centro do círculo, e o eixo x separe o arco, então yC= 0 devido à simetria do arco em relação ao eixo x. Nós determinamos a coordenada do centro de gravidade xC .

Nós dividimos o arco AB em partes elementares leu , um dos quais é mostrado na figura. Então, de acordo com as conclusões acima,

Dougou leu devido à pequenez, tomamos uma linha reta para um segmento. Da semelhança do triângulo ODeuCeu e o triângulo elementar S (sombreado na figura) temos:

desde RΣΔyeu = AB e Σleu = l é o comprimento do arco AB. Mas AB = 2R senα e l = 2Rα, portanto

Para α = π / 2 contente (semicírculo), xC = 2R / π.

O setor circular. Pegue um setor de raio R com um ângulo central de 2α (veja a Figura 3a). Desenhe os eixos coordenados, como mostrado na figura (o eixo x é direcionado ao longo do eixo de simetria do setor), então yC = 0 .

Definir xC , para o qual dividimos o setor em uma série de setores elementares, cada um deles, devido à pequenez do arco.eu pode ser tomado como um triângulo isósceles com altura R. Então o centro de gravidade de cada setor elementar será localizado em um arco de raio 2R / 3 e a tarefa de determinar o centro de gravidade do setor é reduzida para determinar o centro de gravidade deste arco.
Obviamente,

Para α = π / 2 contente (meio círculo): xC = 4R / (3π).

Um exemplo de resolver o problema de determinar o centro de gravidade

Desafio:
Determinar a posição do centro de gravidade de uma seção transversal composta por um feixe № 22 e canal № 20como mostrado na figura 4.

Solução
A partir do curso dos gráficos de engenharia, sabe-se que o número do aluguel corresponde ao maior tamanho geral de sua seção transversal, expresso em centímetros.

Como a seção composta de um feixe em I e um canal é uma figura simétrica em relação ao eixo y, o centro de gravidade de tal seção está nesse eixo, ou seja, xC = 0 .
De acordo com o diretório, determinamos a área e as coordenadas dos centros de gravidade do feixe 1 e canal2.

Para I-section: A1 = 15,2 cm 2, y1 = 22/2 = 11 cm.
Para a seção do canal: A2 = 12 cm 2, y2 = 22 + d - z0 = 22 + 0,32 - 1,25 = 21,07 cm,
onde d é a espessura da parede do canal, z0 - o tamanho que determina a posição do centro de gravidade do canal.

Aplicamos a fórmula para determinar as coordenadas do centro de gravidade de toda a seção:

Manual de instruções

1. Desenhe o triângulo em si. Para fazer isso, pegue uma régua e desenhe um pedaço de lápis. Em seguida, desenhe outro segmento, começando de um dos extremos do anterior. Bloqueie a forma combinando os dois pontos livres restantes dos segmentos. O resultado é um triângulo. É ele centrogravidade para ser procurado.

2. Pegue uma régua e meça o comprimento de um dos lados. Encontre o meio deste lado e varrê-lo com um lápis. Desenhe uma linha do vértice oposto ao ponto marcado. O segmento resultante é chamado de mediana.

3. Prossiga para o 2º lado. Meça seu comprimento, divida-o em duas partes iguais e desenhe uma mediana do vértice oposto.

4. Faça o mesmo com um terceiro. Por favor, note que se você fez tudo corretamente, então as medianas irão se cruzar em um ponto. Será centrogravidade ou, como também é chamado, centro as massas do triângulo.

5. Se você tem uma tarefa, descubra centrogravidade triângulo equilátero, em seguida, desenhe uma altura de todo o topo da figura. Para fazer isso, pegue uma régua com um ângulo reto e um dos lados, encoste-se na base do triângulo e o segundo ponto no pico oposto. Faça o mesmo com o resto das partes. O ponto de interseção será centro om gravidade . A especificidade dos triângulos equiláteros é que os mesmos segmentos são medianas, alturas e bissetores.

6. Centre gravidade de qualquer triângulo divide as medianas em dois segmentos. Sua proporção é de 2: 1, se você olhar de cima. Se o triângulo é colocado em um pino para que centro Oid estará em sua ponta, então não cairá, mas estará em equilíbrio. Também centrogravidade é o ponto em que cada massa colocada nos vértices do triângulo é trazida. Execute esta habilidade e certifique-se de que este ponto não é sem razão chamado "delicioso".