Dicas Úteis

Factorização de números em fatores primos, métodos e exemplos de decomposição

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Existe um tipo de tarefa em que o oposto é indicado por um número já apresentado em um formato quebrado. Neste caso, um pedaço de papel é retirado e todos os componentes do número são escritos da direita para a esquerda, em ordem, de menor para maior. Um exemplo:

O número é dividido em 4 unidades, 8 dezenas, 7 centenas e 4 mil. Para coletá-lo, você precisa em ordem, da direita para a esquerda, de unidades para milhares de escrever o número:
4784.

  • dezenas de centenas de milhares em 2018
  • Quebre o número 1234 em termos

O que significa decompor um número em fatores primos?

Primeiro, vamos descobrir quais são os principais fatores.

É claro que, uma vez que a palavra "fatores" está presente nesta frase, então um produto de alguns números ocorre, e a palavra qualificada "primo" significa que cada fator é um número primo. Por exemplo, em um produto da forma 2 · 7 · 7 · 23, existem quatro fatores primos: 2, 7, 7 e 23.

Mas o que significa decompor um número em fatores primos?

Isso significa que esse número deve ser representado como um produto de fatores primos e o valor desse produto deve ser igual ao número original. Como um exemplo, considere o produto de três primos 2, 3 e 5, é 30, então a decomposição de 30 em fatores primos tem a forma 2 · 3 · 5. Normalmente, a decomposição de um número em fatores primos é escrita na forma de igualdade, no nosso exemplo será assim: 30 = 2,3 · 5. Nós enfatizamos separadamente que fatores simples na decomposição podem ser repetidos. Isso é claramente ilustrado pelo exemplo a seguir: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Mas uma representação da forma 45 = 3 · 15 não é uma fatoração, uma vez que o número 15 é composto.

Surge a seguinte questão: "Que números podem ser fatorados em geral"?

Em busca de uma resposta, damos o seguinte raciocínio. Os números primos, por definição, estão entre inteiros positivos maiores que um. Dado este fato e as regras para multiplicar inteiros, pode-se argumentar que o produto de vários fatores primos é um inteiro positivo que excede um. Portanto, a fatoração ocorre apenas para inteiros positivos maiores que 1.

Mas todos os inteiros que excedem um decompõem-se em fatores primos?

É claro que não é possível fatorar em números inteiros. Isso é explicado pelo fato de que primos têm apenas dois divisores positivos - um e eles mesmos, portanto, não podem ser representados como o produto de dois ou mais primos. Se o inteiro z pudesse ser representado como o produto dos números primos a e b, então o conceito de divisibilidade levaria à conclusão de que z é divisível por a e b, o que é impossível devido à simplicidade do número z. No entanto, acredita-se que qualquer número primo é em si uma decomposição.

E quanto aos números compostos? Os números compostos são decompostos em fatores primos e todos os números compostos estão sujeitos a tal decomposição? Uma resposta afirmativa a várias dessas questões é dada pelo teorema básico da aritmética. O teorema básico da aritmética afirma que qualquer inteiro maior que 1 pode ser decomposto no produto de fatores primos p1p2... pn , a decomposição tem a forma a = p1P2· ... · pn , e essa decomposição é única, se você não levar em conta a seqüência de fatores

Factorização Prime Canônica

Na expansão do número, os fatores primos podem ser repetidos. Fatores primários de repetição podem ser escritos de forma mais compacta usando o poder de um número. Suponha que na expansão de um fator primo p1 atende s1 vezes, fator primordial p2 - s2 vezes, e assim por diante, pn - sn vezes. Então a fatoração primária de um pode ser escrita como a = p1 s1 P2 s2 · ... · pn sn . Esta forma de gravação é a chamada fatoração primária canônica.

Vamos dar um exemplo da fatoração canônica de um número. Conheçamos a decomposição 609 840 = 2,2 · 2,2 · 3,7 · 11 · 11, a sua forma canônica de escrita tem a forma 609 840 = 2 4 · 3 2 · · · · · · · · · · · · · · · ·.

A fatoração canônica do número permite encontrar todos os divisores do número e o número de divisores do número.

Algoritmo de fatoração primária

Para lidar com sucesso com a tarefa de decompor um número em fatores primos, você precisa ter um conhecimento muito bom das informações nos números primários e compostos do artigo.

A essência do processo de decomposição de um inteiro positivo maior do que a unidade fica clara a partir da prova do teorema principal da aritmética. O significado é encontrar sequencialmente os menores divisores primários p1p2... pn números a, a1, um2... umn-1 , o que nos permite obter a série de igualdades a = p1Um1 onde um1= a: p1 a = p1Um1= p1P2Um2 onde um2= a1: p2 , ..., a = p1P2· ... · pnUmn onde umn= an-1: pn . Quando é que umn= 1, então a igualdade a = p1P2· ... · pn nos dará a fatoração desejada de um. Deve ser notado aqui que p1≤p2≤p3≤ ... ≤pn .

Resta lidar com a descoberta dos menores divisores principais em cada etapa e teremos um algoritmo para decompor o número em fatores primos. Encontrar divisores principais nos ajudará com uma tabela principal. Mostramos como usá-lo para obter o menor divisor primo de z.

Nós sequencialmente pegamos os primos da tabela de primos (2, 3, 5, 7, 11 e assim por diante) e dividimos por eles o número dado z. O primeiro número primo no qual z é completamente dividido será seu menor divisor primo. Se z é primo, então seu divisor menos primo é o próprio z. Aqui deve ser lembrado que se z não é um número primo, então seu menor divisor primo não excede um número, onde é a raiz quadrada aritmética de z. Assim, se não houver um único divisor de z entre os primos que não excedam, então podemos concluir que z é um número primo (para mais detalhes sobre isso, veja a seção de teoria sob o título este número é primo ou composto).

Como exemplo, mostramos como encontrar o menor divisor primo de 87. Pegue o número 2. Divida 87 por 2, obtemos 87: 2 = 43 (descanso 1) (se necessário, veja o artigo sobre a regra e exemplos de dividir inteiros com o restante). Ou seja, ao dividir 87 por 2, o restante é 1, então 2 não é um divisor de 87. Pegamos o seguinte número primo da tabela de primos, este é o número 3. Divide 87 por 3, obtemos 87: 3 = 29. Assim, 87 é completamente divisível por 3, portanto, 3 é o menor divisor primo de 87.

Note que, no caso geral, para fatores primos de a, precisamos de uma tabela de primos até um número não menor que. Teremos que recorrer a essa tabela a cada passo, por isso precisamos tê-lo em mãos. Por exemplo, para se decompor em fatores primos de 95, precisamos apenas de uma tabela de primos até 10 (já que 10 é mais que). E para a expansão do número 846.653, será necessária uma tabela de primos de até 1.000 (uma vez que há mais de 1.000).

Agora temos informações suficientes para gravar algoritmo de fatoração primária. O algoritmo de decomposição do número a é o seguinte:

  • Ao classificar sequencialmente os números da tabela principal, encontramos o menor divisor primo p1 números a, após o qual calculamos um1= a: p1 . Se um1= 1, então o número a é primo, e ele próprio é sua expansão em fatores primos. Se um1 é igual a 1, então temos a = p1Um1 e siga para o próximo passo.
  • Encontre o menor divisor primo p2 números a1 , para fazer isso, nós classificamos os números da tabela principal, começando com p1 , após o qual calculamos um2= a1: p2 . Se um2= 1, então a fatoração desejada de a é a = p1P2 . Se um2 é igual a 1, então temos a = p1P2Um2 e siga para o próximo passo.
  • Iterando números de uma tabela principal, começando com p2 , encontre o menor divisor primário p3 números a2 , após o qual calculamos um3= a2: p3 . Se um3= 1, então a fatoração desejada de a é a = p1P2P3 . Se um3 é igual a 1, então temos a = p1P2P3Um3 e siga para o próximo passo.
  • Encontre o menor divisor primo pn números an-1 ordenando primos começando com pn-1 bem como umn= an-1: pn e umn Acontece que é 1. Este passo é o último passo do algoritmo, aqui obtemos a fatoração desejada do número a: a = p1P2· ... · pn .

Todos os resultados obtidos em cada etapa do algoritmo para decompor o número em fatores primos são apresentados para clareza na forma da tabela a seguir, na qual os números a, a são escritos seqüencialmente na coluna à esquerda da barra vertical.1, um2... umn , e à direita da linha são os divisores menos primos correspondentes p1p2... pn .

Resta apenas considerar alguns exemplos da aplicação do algoritmo obtido para a decomposição de números em fatores primos.

Exemplos de fatores primos

Agora vamos analisar em detalhes exemplos de fatoração primária. Na expansão, aplicaremos o algoritmo do parágrafo anterior. Vamos começar com casos simples, e gradualmente os complicaremos para encontrar todas as possíveis nuances que surgem quando os números são decompostos em fatores primos.

Como fatorar números?

Qualquer número composto pode ser representado como o produto de seus principais divisores:

Os lados direitos das igualdades obtidas são chamados fatoração primária números 15 e 28.

Decompor um determinado número composto em fatores primos é representar esse número como o produto de seus principais divisores.

A decomposição desse número em fatores primos é a seguinte:

  1. Primeiro você precisa selecionar o menor número primo da tabela principal pela qual esse número composto é divisível sem o restante, e executar a divisão.
  2. Em seguida, você precisa novamente pegar o menor número primo pelo qual o quociente já recebido será dividido sem o restante.
  3. A segunda ação é repetida até que uma unidade seja obtida no quociente.

Como exemplo, decomporemos o número 940 em fatores primos e encontraremos o menor número primo dividido por 940. Esse número é 2:

Agora selecionamos o menor número primo, que é dividido por 470. Esse número é novamente 2:

O menor número primo que 235 divide é 5:

O número 47 é primo, o que significa que o menor número primo pelo qual 47 é dividido será o próprio número:

Assim, obtemos o número 940, decomposto em fatores primos:

940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47

Se, ao decompor um número em fatores primos, temos vários fatores idênticos, então, por brevidade, eles podem ser escritos como um poder:

940 = 2 2 · 5 · 47

Fatoração de primo é mais convenientemente escrita da seguinte forma: primeiro anote esse número composto e desenhe uma barra vertical à direita dele:

À direita da linha, escrevemos o menor divisor simples no qual esse número composto é dividido:

Realizamos a divisão e o quociente resultante da divisão é escrito sob o dividendo:

Lidamos com o quociente da mesma maneira que com o dado número composto, ou seja, selecionamos o menor número primo pelo qual ele é divisível sem resto e realizamos a divisão. E assim repetimos até que uma unidade seja obtida no quociente:

Por favor, note que às vezes é difícil decompor um número em fatores primos, pois ao decompor podemos encontrar um grande número, que é difícil de determinar imediatamente se for simples ou composto. E se for composto, nem sempre é fácil encontrar seu menor divisor simples.

Por exemplo, vamos tentar fatorar 5106 em fatores primos:

Tendo alcançado o 851 privado, é difícil determinar imediatamente seu menor divisor. Nos voltamos para a mesa dos primos. Se há um número que nos coloca em dificuldade, então ele é dividido apenas por si e por um. O número 851 não está na tabela principal, o que significa que é um composto. Resta apenas dividi-lo em números primos pelo método de busca sequencial: 3, 7, 11, 13. e assim por diante até encontrarmos um divisor primo adequado. Usando o método de enumeração, descobrimos que 851 é dividido pelo número 23:

Assim, obtemos o número 5106, decomposto em fatores primos:

5106 = 2 · 3 · 23 · 37

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