Dicas Úteis

A solução de equações cúbicas

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Método de força bruta ao decidir equações cúbicas recebeu a maior fama. Algoritmo sua implementação é reduzida para o seguinte.

Vamos escolher um dos raízes da equação usando a propriedade que a equação cúbica, invariavelmente, tem pelo menos um raiz válidae o todo raiz da equação cúbica com coeficientes inteiros serão divisor de membros grátisd.

Probabilidades destes equaçõessão geralmente escolhidos de modo que a raiz requerida seja pequena inteirotais como: 0, ± 1, ± 2, ± 3.

E, consequentemente, é necessário detectar raiz entre esses números e confira pesquisas na equação.

Nós tomamos essa raiz para x 1.

Na próxima etapa, vamos dividir polinomialmachado 3 + b x 2 + cx + d em binômiox - x 1.

Aplicável teorema de bezou (divisão de um polinômio em um binômio linear), segundo a qual esta divisão sem o restante é possível, e com base no resultado de cálculos, obtemos polinômio de segundo grauque é zero. Resolvendo o recebido equação quadrática, vamos encontrar (ou não!) duas outras raízes.

Vamos analisar o curso da resolução da equação: x 3 - 3 x 2 - 13 x + 15 = 0.

Encontre a primeira raiz substituindo na equação dígitos: 0, ± 1, ± 2, ± 3 temos que 1 é a raiz. Em seguida, divida o lado esquerdo dessa equação binômiox 1e obtenha:

Se uma raiz é conhecida

Deixe-nos saber uma raiz da equação cúbica (1). Denote a raiz conhecida como. Então dividindo a equação (1) por, obtemos a equação quadrática. Resolvendo a equação quadrática, encontramos mais duas raízes e.

Para provar isso, usamos o fato de que o polinômio cúbico pode ser representado como:
.
Então, dividindo (1) por, obtemos a equação quadrática.

Exemplos de divisão de polinômios são apresentados na página.
"Divisão e multiplicação de um polinômio em um polinômio por um canto e uma coluna."
A solução de equações quadráticas é considerada na página
"As raízes da equação quadrática."

Se uma das raízes é inteira

Se a equação original tiver o formulário:
(2) ,
e seus coeficientes ,,, são inteiros, então você pode tentar encontrar a raiz inteira. Se esta equação tiver uma raiz inteira, então é um divisor de fator. O método de procurar por raízes inteiras é que encontramos todos os divisores do número e verificamos se a equação (2) é válida para eles. Se a equação (2) é válida, então encontramos sua raiz. Vamos designar como. Em seguida, dividimos a equação (2) por. Nós obtemos a equação quadrática. Resolvendo isso, encontramos mais duas raízes.

Busca por raízes racionais

Se na equação (2) ..., são inteiros, e não há raízes inteiras, então podemos tentar encontrar raízes racionais, isto é, raízes da forma, onde e são números inteiros.

Para fazer isso, multiplique a equação (2) por e faça uma substituição:
,
(3) .
Em seguida, procuramos as raízes completas da equação (3) entre os divisores do termo livre.

Se encontrarmos toda a raiz da equação (3), então, retornando à variável, obtemos a raiz racional da equação (2):
.

Fórmulas Cardano e Vieta para resolver a equação cúbica

Se não sabemos uma única raiz e não há raízes inteiras, você pode encontrar as raízes da equação cúbica usando as fórmulas de Cardano.

Considere a equação cúbica:
(1) .
Vamos fazer uma substituição:
.
Depois disso, a equação é reduzida para uma forma incompleta ou reduzida:
(4) ,
onde
(5) , .

A fórmula de Cardano para uma equação cúbica incompleta (reduzida) tem a forma:
,
,
,
,
.
De acordo com a fórmula de Cardano, encontramos as três raízes de magnitude. Então, usando a fórmula, encontramos os valores da quantidade.

Após a separação das raízes cúbicas da quantidade, a fórmula de Cardano assume a seguinte forma:
(6) , ,
onde
(7) , , ,
(8) .

Em, para e você precisa escolher as raízes reais, que são automaticamente relacionadas pela proporção. Neste caso, obtemos uma solução real e dois conjugados complexos e.

Quando nós temos:
, , .
Neste caso, temos duas raízes reais múltiplas. Se, então, temos três raízes múltiplas.

Quando temos três raízes reais. Além disso, eles são complexos. Portanto, a solução é reduzida para uma forma trigonométrica, que tem o nome da fórmula Vieta:
(9) ,
(10) ,
onde
(11) , .

Exemplos de soluções usando fórmulas Cardano e Vieta

Resolva equações cúbicas:
,
.

Literatura utilizada:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes de faculdades técnicas, "Doe", 2009.
G. Korn, Manual de Matemática para Cientistas e Engenheiros, 2012.

Autor: Oleg Odintsov. Publicado: 30-04-2016 Modificado: 10-02-2016

A solução da equação cúbica de dois termos da forma A x 3 + B = 0

A equação cúbica contendo o binômio tem a forma A x 3 + B = 0. Deve ser reduzido para x 3 + B A = 0 dividindo por A diferente de zero. Então você pode aplicar a fórmula para reduzir a multiplicação da soma de cubos. Nós entendemos isso

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

O resultado do primeiro braquete toma a forma x = - B A 3, e o trinômio quadrado - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, e somente com raízes complexas.

Encontre as raízes da equação cúbica 2 x 3 - 3 = 0.

Solução

É necessário encontrar x da equação. Nós escrevemos:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

É necessário aplicar a fórmula de multiplicação abreviada. Então nós conseguimos

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Abrimos o primeiro suporte e obtemos x = 3 3 2 6. O segundo suporte não tem raízes reais, porque o discriminante é menor que zero.

A resposta é: x = 3 3 2 6.

A solução da equação cúbica de retorno da forma A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

A forma da equação quadrática é A x 3 + B x 2 + B x + A = 0, onde os valores de A e B são coeficientes. É necessário fazer um agrupamento. Nós entendemos isso

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

A raiz da equação é x = - 1, então para obter as raízes do trinômio quadrático A x 2 + x B - A + A, você deve usá-lo encontrando o discriminante.

Resolva uma equação da forma 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0.

Solução

A equação é reversível. É necessário fazer um agrupamento. Nós entendemos isso

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Se x = - 1 é a raiz da equação, então é necessário encontrar as raízes do trinômio dado 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 · 5 = 13 10 - 69 10

A resposta é:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Solução de equações cúbicas com raízes racionais

Se x = 0, então é a raiz de uma equação da forma A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Com o termo livre D = 0, a equação assume a forma A x 3 + B x 2 + C x = 0. Colocando x fora dos parênteses, percebemos que a equação vai mudar. Ao resolver através de um discriminante ou Vieta, ele assumirá a forma x A x 2 + B x + C = 0.

Encontre as raízes da equação dada 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0.

Solução

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 é a raiz da equação. Encontre as raízes do trinômio quadrado da forma 3 x 2 + 4 x + 2. Para fazer isso, é necessário igualar a zero e continuar a solução usando o discriminante. Nós entendemos isso

D = 4 2 - 4 · 3 · 2 = - 8. Como seu valor é negativo, não há raízes trinomiais.

A resposta é: x = 0

Quando os coeficientes da equação A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 são inteiros, então na resposta você pode obter raízes irracionais. Se A ≠ 1, quando as duas partes da equação são multiplicadas por A 2, as variáveis ​​são substituídas, isto é, y = A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Chegamos à forma da equação cúbica. As raízes podem ser inteiras ou racionais. Para obter a igualdade de identidade, é necessário substituir os divisores na equação resultante. Então o y obtido será a raiz. Então a raiz da equação original da forma x 1 = y 1 A. É necessário dividir o polinômio A x 3 + B x 2 + C x + D por x - x 1. Então podemos encontrar as raízes do trinômio quadrado.

Encontre as raízes da equação dada 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Solução

É necessário realizar a conversão multiplicando por 2 2 ambas as partes, e com a substituição de uma variável do tipo y = 2 x. Nós entendemos isso

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 + y + 36 = 0

O termo livre é 36, então é necessário consertar todos os seus divisores:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

É necessário substituir y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 para obter uma identidade da forma

1 3 - 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( - 1 ) 3 - 11 · ( - 1 ) 2 + 24 · ( - 1 ) + 36 = 0

A partir daqui vemos que y = - 1 é a raiz. Portanto, x = y 2 = - 1 2.

Segue-se a divisão de 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 por x + 1 2 usando o esquema de Horner:

x iCoeficientes polinomiais
2- 11129
- 0 . 52- 11 + 2 · ( - 0 . 5 ) = - 1212 - 12 · ( - 0 . 5 ) = 189 + 18 · ( - 0 . 5 ) = 0

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Então você precisa encontrar as raízes da equação quadrática da forma x 2 - 6 x + 9. Temos que a equação deve ser reduzida para a forma x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2, onde x = 3 será sua raiz.

A resposta é: x 1 = - 1 2, x 2, 3 = 3.

O algoritmo pode ser usado para equações de retorno. Pode ser visto que - 1 é a sua raiz, o que significa que o lado esquerdo pode ser dividido por x + 1. Só então as raízes do trinômio quadrado podem ser encontradas. Na ausência de raízes racionais, outras soluções são usadas para fatorar o polinômio.

A solução de equações cúbicas pela fórmula de Cardano

Encontrar raízes cúbicas é possível usando a fórmula de Cardano. Se A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, é necessário encontrar B 1 = A 1 A 0, B 2 = A 2 A 0, B 3 = A 3 A 0.

Então p = - B 1 2 3 + B 2 e q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3.

O resultante p e q na fórmula de Cardano. Nós entendemos isso

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

A seleção de raízes cúbicas deve satisfazer o valor de saída - p 3. Então as raízes da equação original são x = y - B 1 3. Considere a solução do exemplo anterior usando a fórmula de Cardano.

Encontre as raízes da equação dada 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Solução

Pode ser visto que A 0 = 2, A 1 = - 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

É necessário encontrar B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Segue-se que

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · - 11 2 3 27 - - 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Nós substituímos na fórmula de Cordano e recebemos

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 + - 343 216 - 343 2 4 · 108 2 - 49 3 27 · 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

- 343,216 3 tem três significados. Considere-os abaixo.

- 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3, k = 0, 1, 2

Se k = 0, então - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Se k = 1, então - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Se k = 2, então - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

É necessário dividir em pares, então nós começamos - p 3 = 49 36.

Em seguida, obtemos os pares: 7 6 1 2 + i · 3 2 e 7 6 1 2 - i · 3 2, - 7 6 e - 7 6, 7 6 1 2 - i · 3 2 e 7 6 1 2 + i · 3 2

Transforme usando a fórmula de Cordano:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 - i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

A resposta é: x 1 = - 1 2, x 2, 3 = 3

Ao resolver equações cúbicas, pode-se encontrar uma redução na resolução de equações de grau 4 pelo método da Ferrari.

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