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Como resolver equações lineares?

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Neste vídeo, vamos analisar um conjunto inteiro de equações lineares que são resolvidas pelo mesmo algoritmo - é por isso que elas são chamadas de as mais simples.

Para começar, vamos determinar: o que é uma equação linear e qual deles é o mais simples?

- aquele em que há apenas uma variável, e apenas para o primeiro grau.

Pela equação mais simples entende-se a construção:

Todas as outras equações lineares são reduzidas ao mais simples usando o algoritmo:

  1. Expanda os colchetes, se houver
  2. Transferir termos contendo uma variável para um lado do sinal de igual e termos sem uma variável para o outro,
  3. Dê termos semelhantes à esquerda e à direita do sinal de igual,
  4. Divida a equação resultante pelo coeficiente da variável $ x $.

Claro, esse algoritmo nem sempre ajuda. O fato é que às vezes, depois de todas essas fraudes, o coeficiente com a variável $ x $ acaba sendo zero. Neste caso, duas opções são possíveis:

  1. A equação não tem soluções. Por exemplo, quando você recebe algo no espírito de $ 0 cdot x = 8 $, ou seja, zero está à esquerda e um número diferente de zero à direita. No vídeo abaixo, vamos considerar várias razões ao mesmo tempo para as quais tal situação é possível.
  2. A solução é todos os números. O único caso em que isso é possível é que a equação foi reduzida para a construção $ 0 cdot x = 0 $. É lógico que, seja qual for o valor de $ x $ que substituímos, o resultado será “zero é zero”, ou seja, verdadeira igualdade numérica.

Agora vamos ver como tudo isso funciona no exemplo de tarefas reais.

Exemplos de resolução de equações

Hoje estamos lidando com equações lineares e apenas as mais simples. Em geral, uma equação linear significa qualquer igualdade que contenha exatamente uma variável e vai apenas até o primeiro grau.

Tais projetos são resolvidos aproximadamente o mesmo:

  1. Primeiro de tudo, você precisa abrir os colchetes, se houver (como no nosso último exemplo),
  2. Então reúna
  3. Por fim, isole a variável, ou seja, tudo relacionado à variável - os termos em que ela está contida - deve ser transferido para um lado, e tudo o que for deixado sem ele deve ser transferido para o outro lado.

Então, por via de regra, é necessário dar as semelhanças em cada lado da igualdade obtida, e depois disto permanece só dividir pelo coeficiente de "X", e obteremos a resposta final.

Em teoria, isso parece bonito e simples, mas, na prática, até estudantes experientes do ensino médio podem cometer erros ofensivos em equações lineares bastante simples. Normalmente, erros são cometidos ao abrir os suportes ou ao calcular as vantagens e desvantagens.

Além disso, acontece que uma equação linear não tem nenhuma solução, ou então que a solução é toda a linha numérica, ou seja, qualquer número. Vamos analisar essas sutilezas na lição de hoje. Mas nós começaremos, como você já entendeu, com as tarefas mais simples.

Como decidir?

Resolver uma equação linear significa encontrar o que a variável é igual a. Como fazer isso? Sim, muito simples - usando operações algébricas simples e seguindo as regras de transferência. Se a equação apareceu antes de você de uma maneira geral, você tem sorte, tudo o que precisa ser feito:

  1. Mova b para o lado direito da equação, não esquecendo de mudar o sinal (regra de transferência!), Então a partir de uma expressão da forma ax + b = 0 você deve obter uma expressão da forma: ax = -b.
  2. Aplique a regra: para encontrar um dos fatores (x - no nosso caso), você precisa dividir o produto (-b no nosso caso) por outro fator (a - no nosso caso). Assim, uma expressão da forma deve ser obtida: x = -b / a.

Isso é tudo - a solução é encontrada!

Agora vamos ver um exemplo específico:

  1. 2x + 4 = 0 - transferência b, igual neste caso a 4, à direita
  2. 2x = –4 - dividir b por a (não se esqueça do sinal de menos)
  3. x = –4/2 = –2

Isso é tudo! Nossa solução: x = –2.

Como você pode ver, a solução de uma equação linear com uma variável é bastante simples de encontrar, mas tudo é tão simples se tivermos sorte de encontrar a equação de forma geral. Na maioria dos casos, antes de resolver a equação nas duas etapas descritas acima, ainda é necessário trazer a expressão existente para uma forma geral. No entanto, isso também não é uma tarefa assustadora. Vamos ver alguns casos especiais com exemplos.

A decisão de casos especiais

Primeiro, vamos analisar os casos que descrevemos no início do artigo e explicar o que significa um número infinito de soluções e a ausência de uma solução.

  • Se a = b = 0, a equação será semelhante a: 0x + 0 = 0. Executando o primeiro passo, obtemos: 0x = 0. O que esse absurdo significa, exclamar você! Afinal, não importa o número que você multiplique por zero, você sempre ganha zero! Certo! Portanto, eles dizem que a equação tem um número infinito de soluções - qualquer que seja o número que você pegar, a igualdade será verdadeira, 0x = 0 ou 0 = 0.
  • Se a = 0, b ≠ 0, a equação será semelhante a: 0x + 3 = 0. Execute o primeiro passo, obtemos 0x = -3. Bobagem de novo! Obviamente, essa igualdade nunca será verdadeira! É por isso que eles dizem - a equação não tem soluções.
  • Se a ≠ 0, b = 0, a equação será semelhante a: 3x + 0 = 0. Executando o primeiro passo, obtemos: 3x = 0. Qual solução? É fácil, x = 0.

Dificuldades de tradução

Os casos especiais descritos não são tudo o que as equações lineares podem nos surpreender. Às vezes, uma equação geralmente é difícil de identificar à primeira vista. Vamos analisar um exemplo:

Isto é uma equação linear? Mas e o zero do lado direito? Nós não vamos nos precipitar em conclusões, vamos agir - vamos transferir todos os componentes da nossa equação para a esquerda. Nós temos:

Agora subtraia semelhante de semelhante, recebemos:

Você descobriu? A equação mais linear! Qual solução: x = 20/10 = 2.

Mas e se tivermos o seguinte exemplo:

Sim, isso também é uma equação linear, apenas mais transformações precisam ser feitas. Primeiro, abra os colchetes:

  1. (12 (x + 2) / 3) + 12x = 12 - 36x / 4
  2. 4 (x + 2) + 12x = 12 - 36x / 4
  3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - agora realizamos a transferência:
  4. 25x - 4 = 0 - resta encontrar uma solução de acordo com o esquema já conhecido:
  5. 25x = 4,
  6. x = 4/25 = 0,16

Como você pode ver, tudo está resolvido, o principal é não se preocupar, mas sim agir. Lembre-se, se a sua equação contém apenas variáveis ​​do primeiro grau e número, você tem uma equação linear, que, não importa como pareça inicialmente, pode ser trazida para uma forma geral e resolvida. Nós esperamos que você tenha sucesso! Boa sorte

Conteúdos

A equação linear de uma variável pode ser reduzida ao formato:

O número de soluções depende dos parâmetros a e b.

A equação linear de duas variáveis ​​pode ser representada:

Decisãoou enraizadoEssa equação é chamada de um par de valores variáveis ​​(x, y) < displaystyle (x, y)>, que a transforma em uma identidade. Há um número infinito de tais soluções (raízes) de uma equação linear com duas variáveis. O modelo geométrico (gráfico) de tal equação é a linha y = kx + m < displaystyle y = kx + m>.

Esquema de resolver as equações lineares mais simples

Para começar, deixe-me escrever novamente todo o esquema para resolver as equações lineares mais simples:

  1. Nós abrimos os colchetes, se houver.
  2. Nós isolamos as variáveis, ou seja, tudo o que contém "X" é transferido em uma direção e sem "X" na outra.
  3. Nós damos termos semelhantes.
  4. Nós dividimos tudo pelo coeficiente de "X".

É claro que esse esquema nem sempre funciona, tem certas sutilezas e truques, e agora vamos conhecê-los.

Nós resolvemos exemplos reais de equações lineares simples

No primeiro passo, somos obrigados a abrir os parênteses. Mas eles não estão neste exemplo, então pulamos esse estágio. Na segunda etapa, precisamos isolar as variáveis. Por favor, note: estamos falando apenas sobre termos individuais. Vamos escrever:

Damos termos semelhantes à esquerda e à direita, mas aqui já está feito. Portanto, passamos para a quarta etapa: dividir por um coeficiente:

Então nós temos a resposta.

[5 left (x + 9 right) = 5x + 45 ]

Nesta tarefa, podemos observar os colchetes, então vamos expandi-los:

Tanto à esquerda quanto à direita, vemos aproximadamente a mesma construção, mas vamos agir de acordo com o algoritmo, ou seja, nós isolamos variáveis:

Quais são as raízes disso? Resposta: para qualquer Portanto, podemos escrever que $ x $ é qualquer número.

A terceira equação linear já é mais interessante:

[ left (6-x right) + left (12 + x right) - left (3-2x right) = 15 ]

Existem vários colchetes aqui, mas eles não se multiplicam por nada, eles só têm sinais diferentes na frente deles. Vamos revelá-los:

Realizamos o segundo passo que já conhecemos:

Realizamos o último passo - dividimos tudo pelo coeficiente de "X":

O que você precisa lembrar ao resolver equações lineares

Se nos distrairmos de tarefas muito simples, então eu gostaria de dizer o seguinte:

  • Como eu disse acima, nem toda equação linear tem uma solução - às vezes simplesmente não há raízes,
  • Mesmo se houver raízes, entre elas zero pode ser esclarecido - não há nada de errado com isso.

Zero é o mesmo número que o resto, você não deve discriminá-lo de alguma forma ou assumir que se você obtiver zero, então você fez algo errado.

Outra característica associada à divulgação de chaves. Por favor note: quando eles têm um sinal de menos na frente deles, então nós removê-lo, mas nós mudamos os sinais entre parênteses para oposto. E então podemos abri-lo de acordo com algoritmos padrão: obtemos o que vimos nos cálculos acima.

Entender este fato simples permitirá que você evite erros estúpidos e ofensivos no ensino médio, quando a implementação de tais ações for tomada como garantida.

Resolvendo equações lineares complexas

Vamos passar para equações mais complexas. Agora as construções se tornarão mais complicadas e uma função quadrática surgirá durante várias transformações. No entanto, não se deve ter medo disso, porque se, de acordo com a intenção do autor, resolvermos a equação linear, então, no processo de conversão, todos os monômios contendo uma função quadrática serão necessariamente reduzidos.

[12- left (1-6x right) x = 3x left (2x-1 right) + 2x ]

Obviamente, a primeira coisa a fazer é abrir os colchetes. Vamos fazer isso com muito cuidado:

[12- left (x-6x cdot x right) = 3x cdot 2x-3x + 2x ]

Agora vamos fazer a solidão:

Obviamente, esta equação não tem soluções, portanto, na resposta, escrevemos:

[8 left (2x-1 right) -5 left (3x + 0.8 right) = x-4 ]

Nós executamos as mesmas ações. Primeiro passo:

[8 cdot 2x-8- left (5 cdot 3 x + 5 cdot 0.8 right) = x-4 ]

[16x-8- left (15x + 4 right) = x-4 ]

Transferimos tudo com a variável para a esquerda e, sem ela, para a direita:

Obviamente, esta equação linear não tem solução, portanto, escrevemos

ou sem raízes.

Nuances da solução

Ambas as equações são completamente resolvidas. Usando o exemplo dessas duas expressões, estávamos novamente convencidos de que, mesmo nas equações lineares mais simples, tudo pode não ser tão simples: pode haver uma, ou nenhuma, ou infinitamente muitas raízes. No nosso caso, consideramos duas equações, simplesmente não há raízes em ambas.

Mas gostaria de chamar sua atenção para outro fato: como trabalhar com colchetes e como abri-los se houver um sinal de menos na frente deles. Considere esta expressão:

[12- left (1-6x right) x = 3x left (2x-1 right) + 2x ]

Antes de divulgar, você precisa multiplicar tudo por "X". Por favor note: multiplica cada termo individual. Dentro há dois termos - respectivamente, dois termos e multiplicados.

E somente depois que essas transformações aparentemente elementares, mas muito importantes e perigosas, forem concluídas, você poderá abrir o colchete em termos do fato de que há um sinal de menos depois dele. Sim, sim: só agora, quando as transformações estão concluídas, lembramos que o sinal de menos está na frente dos parênteses, o que significa que tudo o que está no fundo simplesmente muda de sinal. Neste caso, os parênteses desaparecem e, mais importante, a frente “menos” também desaparece.

Nós fazemos o mesmo com a segunda equação:

[8 left (2x-1 right) -5 left (3x + 0.8 right) = x-4 ]

Não é por acaso que presto atenção a esses pequenos fatos aparentemente insignificantes. Porque a solução de equações é sempre uma sequência de transformações elementares, onde a incapacidade de realizar ações simples de forma clara e correta leva ao fato de que os alunos do ensino médio vêm até mim e novamente aprendem a resolver equações tão simples.

Naturalmente, o dia chegará e você aperfeiçoará essas habilidades para automatizar. Você não precisa mais realizar tantas transformações todas as vezes, todas escrevem em uma linha. Mas enquanto você está apenas aprendendo, você precisa escrever cada ação separadamente.

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

O que vamos resolver é difícil chamar a tarefa mais simples, mas o significado permanece o mesmo.

[ left (7x + 1 right) left (3x-1 right) -21 <^<2>>=3]

Vamos multiplicar todos os elementos da primeira parte:

[7x cdot 3x + 7x cdot left (-1 right) +1 cdot 3x + 1 cdot left (-1 right) -21 <^<2>>=3]

Vamos fazer alguma privacidade:

Execute o último passo:

Aqui está a nossa resposta final. E, apesar do fato de que no processo de resolver os coeficientes com uma função quadrática surgiram, no entanto, eles se aniquilaram mutuamente, o que torna a equação linear, não quadrada.

[ left (1-4x right) left (1-3x right) = 6x left (2x-1 right) ]

Vamos completar cuidadosamente o primeiro passo: multiplicamos cada elemento do primeiro colchete por cada elemento do segundo. No total, quatro novos termos devem ser obtidos após as transformações:

[1 cdot 1 + 1 cdot left (-3x right) + left (-4x right) cdot 1+ left (-4x right) cdot left (-3x right) = 6x cdot 2x + 6x cdot left (-1 right) ]

E agora, execute cuidadosamente a multiplicação em cada termo:

Nós transferimos os termos com "X" para a esquerda e sem - para a direita:

Nós damos termos semelhantes:

Mais uma vez recebemos a resposta final.

Sobre soma algébrica

No último exemplo, gostaria de lembrar aos alunos o que é uma soma algébrica. Na matemática clássica, por $ 1-7 $ queremos dizer uma construção simples: subtraímos sete de uma unidade. Em álgebra, queremos dizer com isso o seguinte: para o número “unidade”, acrescentamos outro número, a saber, “menos sete”. Isso difere a soma algébrica da aritmética usual.

Tão logo quando você completar todas as transformações, cada adição e multiplicação, você começa a ver construções similares àquelas descritas acima, você simplesmente não terá nenhum problema em álgebra ao trabalhar com polinômios e equações.

Em conclusão, vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos que serão ainda mais complexos do que aqueles que acabamos de examinar, e para resolvê-los teremos que expandir ligeiramente nosso algoritmo padrão.

Resolvendo Equações de Frações

Para resolver esses problemas, mais um passo terá que ser adicionado ao nosso algoritmo. Mas primeiro vou lembrar nosso algoritmo:

  1. Expanda os parênteses.
  2. Variáveis ​​separadas
  3. Traga os gostos.
  4. Divida pelo coeficiente.

Infelizmente, esse algoritmo maravilhoso, com toda a sua eficácia, não é totalmente apropriado quando temos frações. E no que veremos abaixo, temos uma fração nas duas equações à esquerda e à direita.

Como trabalhar neste caso? Sim, tudo é muito simples! Para fazer isso, você precisa adicionar mais um passo ao algoritmo, que pode ser executado antes e depois da primeira ação, ou seja, livrar-se das frações. Assim, o algoritmo será o seguinte:

  1. Livre-se das frações
  2. Expanda os parênteses.
  3. Variáveis ​​separadas
  4. Traga os gostos.
  5. Divida pelo coeficiente.

O que significa se livrar das frações? E por que isso pode ser feito depois e antes do primeiro passo padrão? De fato, no nosso caso, todas as frações são numéricas pelo denominador, ou seja, em todo lugar no denominador é apenas um número. Portanto, se multiplicarmos ambos os lados da equação por esse número, então nos livraremos das frações.

Vamos nos livrar das frações nessa equação:

Por favor, note: por "quatro" tudo é multiplicado uma vez, ou seja, Se você tiver dois colchetes, isso não significa que cada um deles precisa ser multiplicado por “quatro”. Nós escrevemos:

[ left (2x + 1 right) left (2x-3 right) = left (<^ <2 >> -1 right) cdot 4 ]

[2x cdot 2x + 2x cdot left (-3 right) +1 cdot 2x + 1 cdot left (-3 right) = 4 <^<2>>-4]

Nós fazemos a solidão da variável:

Nós realizamos a redução de tais termos:

[- 4x = -1 left | : left (-4 right) right. ]

Nós temos a solução final, vamos para a segunda equação.

Aqui executamos as mesmas ações:

[1 cdot 1 + 1 cdot 5x + left (-x right) cdot 1+ left (-x right) cdot 5x + 5 <^<2>>=5]

Isso, na verdade, é tudo o que eu queria contar hoje.

Pontos-chave

As principais descobertas são as seguintes:

  • Conheça o algoritmo para resolver equações lineares.
  • Capacidade de abrir colchetes.
  • Não se preocupe se você tiver funções quadráticas em algum lugar, muito provavelmente, no processo de novas transformações, elas serão reduzidas.
  • As raízes nas equações lineares, mesmo as mais simples, são de três tipos: uma única raiz, a linha inteira é uma raiz, não há raízes.

Espero que esta lição ajude você a dominar um tópico simples, mas muito importante, para entender melhor toda a matemática. Se algo não estiver claro, acesse o site, resolva os exemplos ali apresentados. Fique conosco, você vai encontrar muitas coisas mais interessantes!

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