Dicas Úteis

Como encontrar um produto vetorial de vetores

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O produto vetorial de vetores, cuja fórmula depende dos dados iniciais do problema, pode ser encontrado de duas maneiras.

onde os vetores $ overline, overline, overline $ são chamados vetores unitários dos eixos correspondentes $ Ox, Oy, Oz $.

O determinante na segunda fórmula pode ser expandido na primeira linha:

No total, a segunda fórmula assume o formato final:

  1. Ao alterar a ordem dos fatores, o sinal é invertido: $$ [ overline, overline] = - [ overline, overline] $$
  2. Constante de piquetagem para o sinal do produto: $$ lambda [ overline, overline] = [ lambda overline, overline] = [ overline, lambda overline] $$
  3. $$ [ overline + overline, overline] = [ overline, overline] + [ overline, overline] $$

Exemplos de Solução

Encontre o produto vetorial dos vetores dados pelas coordenadas

Compomos um determinante, cuja primeira linha consiste em vetores unitários, e a segunda e terceira das coordenadas dos vetores $ overline $ e $ overline $:

A resposta recebida pode ser escrita de uma forma conveniente:

Se você não conseguir resolver seu problema, envie-o para nós. Nós forneceremos uma solução detalhada. Você será capaz de se familiarizar com o processo de cálculo e obter informações. Isso ajudará a obter crédito do professor em tempo hábil!

Definição
A resposta
$$ overline times overline = (5, -1, 3) $$

Significado geométrico

  • O módulo do produto vetorial dos vetores $ overline $ e $ overline $ no sentido geométrico é igual à área de um paralelogramo construído sobre esses vetores: $$ S_ = | overline times overline| $$
  • Metade deste módulo é a área do triângulo: $ S_ Delta = frac <1> <2> | overline times overline | $$
  • Se o produto vetorial for zero $ overline times overline = 0 $, então os vetores são colineares.

Usando o significado geométrico, em particular a segunda fórmula, encontramos metade do módulo do produto vetorial de vetores.

$$ begin overline& overline& overline 2 & 1 & 3 - 1 & 2 e 1 end = overline(1-6) - overline(2 + 3) + overline(4 + 1) = -5 overline - 5 overline + 5 overline $$

Calculamos o módulo do vetor resultante como a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas desse vetor:

Pela fórmula para encontrar a área de um triângulo, temos:

O ângulo entre os vetores

Para introduzirmos o conceito de um produto vetorial de dois vetores, precisamos primeiro tratar de um conceito como o ângulo entre esses vetores.

Vamos receber dois vetores $ overline<α>$ e $ overline<β>$. Pegue no espaço algum ponto $ O $ e coloque os vetores $ overline longe dele<α>= overline$ e $ overline<β>= overline$, então o ângulo $ AOB $ será chamado de ângulo entre esses vetores.

Figura 1. O ângulo entre os vetores. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Além disso, vamos supor que, se os vetores $ overline<α>$ e $ overline<β>$ são co-direcionais, ou se um ou ambos forem zero, então o ângulo entre esses vetores será $ 0 ^ circ $.

O conceito de um produto vetorial de vetores e a fórmula para encontrar

Um produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular a ambos os vetores, e seu comprimento será igual ao produto dos comprimentos desses vetores com o seno do ângulo entre esses vetores, e esse vetor com duas iniciais tem a mesma orientação que o sistema de coordenadas cartesianas.

Tente pedir ajuda aos professores

Matematicamente, é assim:

  1. $ | overline<α>x overline<β>| = | overline<α>|| overline<β>| sin⁡∠ ( overline<α>, overline<β>)$
  2. $ overline<α>x overline<β>Over overline<α>$, $ overline<α>x overline<β>Over overline<β>$
  3. $ ( overline<α>x overline<β>, overline<α>, overline<β>) $ e $ ( overline, overline, overline) $ são igualmente orientados

Figura 2. O produto dos vetores. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Obviamente, o produto externo de vetores será igual ao vetor zero em dois casos:

  1. Se o comprimento de um ou ambos os vetores é zero.
  2. Se o ângulo entre esses vetores for $ 180 ^ circ $ ou $ 0 ^ circ $ (já que neste caso o seno é igual a zero).

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Para ver visualmente como o produto vetorial de vetores é encontrado, considere os seguintes exemplos de soluções.

Encontre o comprimento do vetor $ overline<δ>$, que será o resultado de um produto vetorial de vetores, com coordenadas $ overline<α>= (0.4.0) $ e $ overline<β>=(3,0,0)$.

Solução.

Nós representamos estes vetores em um espaço de coordenadas cartesianas:

Figura 3. Vetores no espaço de coordenadas cartesianas. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Vemos que esses vetores estão nos eixos $ Ox $ e $ Oy $, respectivamente. Portanto, o ângulo entre eles será de $ 90 ^ circ $. Encontre os comprimentos desses vetores:

Então, pela Definição 1, obtemos o módulo $ | overline<δ>|$

$ | overline<δ>| = | overline<α>|| overline<β>| sin90 ^ circ = 4 cdot 3 cdot 1 = 12 $

Cálculo de um produto vetorial pelas coordenadas dos vetores

A definição 1 implica imediatamente o método de encontrar um produto vetorial para dois vetores. Como o vetor, além do valor, também tem uma direção, é impossível encontrá-lo apenas com a ajuda de uma grandeza escalar. Mas além disso, há também uma maneira de encontrar vetores usando as coordenadas dos dados que nos são dados.

Vamos receber os vetores $ overline<α>$ e $ overline<β>$, que terá as coordenadas $ (α_1, α_2, α_3) $ e $ (β_1, β_2, β_3) $, respectivamente. Em seguida, o vetor do produto vetorial (ou seja, suas coordenadas) pode ser encontrado pela seguinte fórmula:

Caso contrário, revelando o determinante, obtemos as seguintes coordenadas

$ overline<α>x overline<β>=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Encontre o produto vetorial de vetores colineares $ overline<α>$ e $ overline<β>$ com coordenadas $ (0,3,3) $ e $ (- 1,2,6) $.

Solução.

Nós usamos a fórmula acima. Nós recebemos

Propriedades do produto vetorial de vetores

Para três vetores arbitrários mistos $ overline<α>$, $ overline<β>$ e $ overline<γ>$, assim como $ r∈R $, as seguintes propriedades são verdadeiras:

A fidelidade desta propriedade seguirá do terceiro parágrafo da definição 1.

$ (r overline<α>) x overline<β>= r ( overline<α>x overline<β>) $ e $ overline<α>x (r overline<β>) = r ( overline<α>x overline<β>)$

A partir da fórmula para encontrar o produto vetorial, obtemos:

$ overline<α>x ( overline<β>+ overline<γ>) = overline<α> overline<β>+ overline<α> overline<γ>$ e $ ( overline<α>+ overline<β>) overline<γ>= overline<α> overline<γ>+ overline<β> overline<γ>$.

Esta propriedade do produto vetorial de vetores também pode ser verificada usando a fórmula.

A propriedade a seguir é chamada de significado geométrico do produto vetorial:

O comprimento do produto vetorial do vetor é igual à área do paralelogramo que precisou ser construída entre eles

Figura 4. O comprimento do produto vetorial do vetor. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Encontre a área do paralelogramo cujos vértices têm coordenadas $ (3,0,0) $, $ (0,0,0) $, $ (0,8,0) $ e $ (3,8,0) $.

Solução.

Primeiro, descrevemos este paralelogramo no espaço de coordenadas (Fig. 5):

Figura 5. Paralelogramo no espaço de coordenadas. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Vemos que os dois lados deste paralelogramo são construídos usando vetores colineares com coordenadas $ overline<α>= (3,0,0) $ e $ overline<β>= (0.8.0) $. Usando a quarta propriedade, obtemos:

Encontre o vetor $ overline<α>x overline<β>$:

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Exemplos de tarefas no cálculo de um produto vetorial de vetores

Exemplo 2
Encontre a área de um triângulo por vetores determinados $$ overline = (2,1,3) $$ $$ overline = (-1,2,1) $$
Solução
k 123
21-2

= eu (2 · (-2) - 3 · 1) - j (1 · (-2) - 2 · 3) + k (1 · 1 - 2 · 2) =

Solução: Encontre o produto vetorial desses vetores:

=
-12-2
21-1

= eu (2 · (-1) - (-2) · 1) - j ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((-1) · 1 - 2 · 2) =

Das propriedades de um produto vetorial:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5 √ 2 2 = 2,5 √ 2

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Meu nome é Dovzhik Mikhail Viktorovich. Eu sou o proprietário e autor deste site, eu escrevi todo o material teórico, e também desenvolvi exercícios on-line e calculadoras que você pode usar para estudar matemática.

Definição de Definição Algébrica

Existe também um método analítico para determinar o triplo de vetores direito e esquerdo, o que requer a fixação no espaço considerado. certo ou esquerda sistemas de coordenadas, e não necessariamente retangulares e ortonormais.

  • Se o determinante for positivo, então o triplo de vetores tem a mesma orientação que o sistema de coordenadas.
  • Se o determinante é negativo, então o triplo de vetores tem uma orientação oposta àquela do sistema de coordenadas.
  • Se o determinante é zero, então os vetores são coplanares (linearmente dependentes).

Comentários Editar

Como definição, você pode usar a seguinte expressão de um produto vetorial em coordenadas no sistema de coordenadas retangular direita (ou esquerda).

Além disso, um conjunto de propriedades algébricas de um produto vetorial pode ser considerado como a definição inicial.

Definição geométrica

Definição de mão Editar

Definição de Definição Algébrica

Existe também um método analítico para determinar o triplo de vetores direito e esquerdo, o que requer a fixação no espaço considerado. certo ou esquerda sistemas de coordenadas, e não necessariamente retangulares e ortonormais.

  • Se o determinante for positivo, então o triplo de vetores tem a mesma orientação que o sistema de coordenadas.
  • Se o determinante é negativo, então o triplo de vetores tem uma orientação oposta àquela do sistema de coordenadas.
  • Se o determinante é zero, então os vetores são coplanares (linearmente dependentes).

Comentários Editar

As definições dos vetores triplos “direito” e “esquerdo” dependem da orientação do espaço, mas não requerem a configuração de nenhum sistema de coordenadas no espaço considerado, como a própria definição do produto vetorial não exige. Ao mesmo tempo fórmulas as coordenadas do produto vetorial em termos das coordenadas dos vetores de origem diferirão no sinal no sistema de coordenadas retangulares direito e esquerdo.

Todos os vetores de três vias (e da esquerda para a outra) são chamados igualmente orientada.

Dada uma orientação espacial, o sistema de coordenadas é chamado certo (esquerda) se um triplo de vetores com coordenadas (1, 0, 0) < displaystyle (1,0,0)>, (0, 1, 0) < displaystyle (0,1,0)>, (0, 0 1) < displaystyle (0,0,1)> está à direita (esquerda).

Definição geométrica e definição por mão você mesmo pergunte orientação espacial. Uma definição algébrica define uma maneira de dividir triplas de vetores não coplanares em duas classes de vetores orientados de forma idêntica, mas não especifica a orientação do espaço, mas usa já definido - aquele com base no qual o sistema de coordenadas dado é considerado direito ou esquerdo. Além disso, se a orientação do sistema de coordenadas é desconhecida, você pode comparar o sinal do determinante com o sinal do determinante de outro triplo de vetores não coplanares, cuja orientação é conhecida - se os sinais coincidem, então os triplos são igualmente orientados, se os sinais são opostos - os triplos são orientados na direção oposta.

Assista ao vídeo: Me Salva! VET05 - Produto vetorial, explicação teórica e como calcular (Dezembro 2021).

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