Dicas Úteis

Como encontrar a altura de um triângulo

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Altura do Triângulo - uma perpendicular caiu do topo do triângulo para o lado oposto (mais precisamente, para uma linha reta contendo o lado oposto). Dependendo do tipo de triângulo, a altura pode estar contida dentro do triângulo (para um triângulo de ângulos agudos), coincidir com seu lado (ser uma perna de um triângulo retângulo) ou estender-se para fora do triângulo em um triângulo oblíquo.

Conteúdos

  • Todas as três alturas do triângulo se cruzam em um ponto, chamado ortocentro. Esta declaração pode ser facilmente provada usando a identidade vetorial, que é válida para qualquer ponto A, B, C, E, que não necessariamente esteja no mesmo plano:
E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 < displaystyle < overrightarrow > cdot < overrightarrow > + < overrightarrow > cdot < overrightarrow > + < overrightarrow > cdot < overrightarrow >=0>

(Para provar a identidade, use as fórmulas

Como ponto E, devemos tomar a interseção de duas alturas do triângulo.)

  • A última afirmação é também uma conseqüência de teoremas nos vértices do triângulo podder (direto e inverso)
  • Orthocenterisogonal ao centro círculo circunscrito.
  • Orthocenter encontra-se na mesma linha do centróide, o centro círculo circunscrito e o centro do círculo de nove pontos (veja a linha de Euler).
  • Orthocenter um triângulo de ângulo agudo é o centro de um círculo inscrito em seu triângulo ortogonal.
  • O centro do círculo circunscrito ao redor do triângulo serve como o ortocentro do triângulo com vértices no meio dos lados do triângulo. O último triângulo é chamado de um triângulo adicional em relação ao primeiro triângulo.
  • A última propriedade pode ser formulada da seguinte maneira: O centro do círculo circunscrito ao redor do triângulo serve ortocentrotriângulo adicional.
  • Pontos simétricos ortocentro triângulo em relação a seus lados, encontram-se no círculo circunscrito.
  • Pontos simétricos ortocentro o triângulo em relação aos pontos médios dos lados também se encontra no círculo circunscrito e coincide com pontos diametralmente opostos aos vértices correspondentes.
  • Se Oh É o centro do círculo circunscrito ΔABC, então O H → = O A → + O B → + O C → < displaystyle < overrightarrow > = <overrightarrow > + < overrightarrow > + < overrightarrow >> ,
    • | O H | = 9 R 2 - (a 2 + b 2 + c 2) < displaystyle | OH | = < sqrt <9R ^ <2> - (a ^ <2> + b ^ <2> + c ^ <2> ) >>>, onde R < displaystyle R> é o raio do círculo circunscrito, a, b, c < displaystyle a, b, c> são os comprimentos dos lados do triângulo.
  • A distância do topo do triângulo ao ortocentro é duas vezes maior que a distância do centro do círculo circunscrito ao lado oposto.
  • Qualquer segmento extraído de ortocentro para o cruzamento com o círculo circunscrito, é sempre dividido em dois pelo círculo de Euler. Orthocenter existe um centro de homoteza para esses dois círculos.
  • Teorema de Hamilton. Três segmentos de linhas ligando o ortocentro aos vértices de um triângulo de ângulo agudo dividem-no em três triângulos com o mesmo círculo de Euler (círculo de nove pontos) que o triângulo de ângulo agudo original.
  • Consequências do teorema de Hamilton:
    • Três segmentos de linhas conectando o ortocentro com os vértices de um triângulo de ângulo agudo dividem-no em três Triângulo de Hamiltontendo raios iguais dos círculos descritos.
    • Os raios dos círculos circunscritos de três Triângulos de Hamilton igual ao raio do círculo descrito próximo ao triângulo agudo original.
  • No triângulo de ângulos agudos, o ortocentro encontra-se dentro do triângulo, no ângulo obtuso - fora do triângulo, no vértice em ângulo reto.

Propriedades das alturas de um triângulo isósceles

  • Se duas alturas são iguais em um triângulo, então o triângulo é isósceles (teorema de Steiner-Lemus), e a terceira altura é tanto a mediana quanto a bissetriz do ângulo do qual ela sai.
  • O inverso também é verdadeiro: em um triângulo isósceles, duas alturas são iguais e a terceira é a mediana e a bissetriz.
  • Um triângulo equilátero tem todas as três alturas iguais.
  • Terrenoalturas formam o chamado ortotriangle, que tem suas próprias propriedades.
  • O círculo circunscrito ao redor do orto-triângulo é o círculo de Euler. Três pontos médios dos lados do triângulo e três pontos médios de três segmentos conectando o ortocentro com os vértices do triângulo também se encontram neste círculo.
  • Outra formulação da última propriedade:
    • Teorema de Euler para um círculo de nove pontos. Terreno de três alturas um triângulo arbitrário, no meio de seus três lados (as fundações de seu interior medianas) e no meio dos três segmentos conectando seus vértices com o ortocentro, todos estão no mesmo círculo círculo de nove pontos).
  • O teorema. Em qualquer triângulo, a linha conectando terrenos dois alturas triângulo, corta um triângulo semelhante a este.
  • O teorema. No triângulo, a linha conectando terrenos dois alturas triângulos deitados nos dois lados, antiparalelo um terceiro com o qual não tem pontos em comum. Através de suas duas extremidades, bem como através dos dois picos do terceiro lado mencionado, você sempre pode desenhar um círculo.
  • Se o triângulo versátil (desiguais) então internouma bissetriz desenhada de qualquer vértice fica entre interno mediana e altura tiradas do mesmo pico.
  • A altura do triângulo é isogonalmente conjugada ao diâmetro (raio) círculo circunscritoextraído do mesmo topo.
  • Em um triângulo de ângulos agudos seus dois alturas triângulos semelhantes se separam dele.
  • Em um triângulo retânguloalturadesenhada a partir do topo de um ângulo reto, divide-a em dois triângulos, semelhante ao original.

O mínimo das alturas do triângulo tem muitas propriedades extremas. Por exemplo:

  • A projeção ortogonal mínima de um triângulo nas linhas situadas no plano do triângulo tem um comprimento igual à menor das suas alturas.
  • A seção reta mínima no plano através da qual a placa triangular dobrável pode ser arrastada deve ter um comprimento igual à menor das alturas desta placa.
  • Com o movimento contínuo de dois pontos ao longo do perímetro do triângulo um em direção ao outro, a distância máxima entre eles durante o movimento do primeiro encontro ao segundo não pode ser menor que o comprimento da menor das alturas do triângulo.
  • A altura mínima em um triângulo sempre passa dentro desse triângulo.

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